#ശുഹൈബ തേക്കില്‍

അല്‍പം ശ്രദ്ധയോടെ ബുദ്ധിപൂര്‍വം സമീപിച്ചാല്‍ A+ , അ കിട്ടാന്‍ എളുപ്പുമാണ് ഗണിതത്തില്‍. സമാന്തര ശ്രേണിയില്‍ പ്രതീക്ഷിക്കാവുന്ന ചോദ്യങ്ങളും അവ പരിഹരിക്കുന്ന മാര്‍ഗവും.

ചോദ്യങ്ങള്‍

1. a) പൊതുവ്യതാസം 6 ആയ ഒരു സമാന്തര ശ്രേണി എഴുതുക. യ) എഴുതിയ ശ്രേണിയുടെ എട്ടാം പദത്തിനോട് എത്ര കൂട്ടിയാല്‍ 15-ാ0 പദം കിട്ടും?
c) ഈ ശ്രേണിയുടെ ഏതെങ്കിലും രണ്ട് പദങ്ങള്‍ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം 75 ആകുമോ ?

വിശദീകരണം

a) പൊതുവ്യത്യാസം 6 ആയ ഏത് ശ്രേണിയും എഴുതാം. ഒരു സംഖ്യ എഴുതി അതിനോട് 6 കൂട്ടി അടുത്ത സംഖ്യ എഴുതുക. ഇങ്ങനെ 4, 5 സംഖ്യകള്‍ എങ്കിലും എഴുതണം
ഉദാ: - 1 ,7 , 13 , 19

b) എട്ടും 15 ഉും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം 7 ആണ്.
ആയതിനാല്‍ 8-ാം പദത്തിനോട് 7 പ്രാവശ്യം പൊതുവ്യത്യാസം കൂട്ടിയാല്‍ 15-ാം പദം കിട്ടും
അതായത്, 8-ാം പദത്തോട് 42 കൂട്ടിയാല്‍ 15-ാം പദം കിട്ടും.

c) ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയിലെ ഏതു രണ്ട് പദങ്ങള്‍ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം പൊതുവ്യത്യാസത്തിന്റെ ഗുണിതമായിരിക്കും.

ഇവിടെ പൊതുവ്യത്യാസം 6 ആണല്ലോ. 75 നെ 6 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോള്‍ ശിഷ്ടം 3 വരുന്നതിനാല്‍ 75, 6ന്റെ ഗുണിതമല്ല. ആയതിനാല്‍ 75 എന്നത് മേല്‍ സൂചിപ്പിച്ച ശ്രേണിയിലെ രണ്ടു പദങ്ങള്‍ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം ആകുന്നില്ല.

2. ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയുടെ 6-ാം പദം 50 ഉം പൊതുവ്യത്യാസം 9 ഉം ആണ്.
a) ശ്രേണിയുടെ 15-ാം പദം എത്രയാണ് ?
b) ഈ ശ്രേണിയുടെ എത്രാം പദമാണ് 221 ?
c) 275 ഈ ശ്രേണിയിലെ പദമാണോ ?
d) ഈ ശ്രേണിയിലെ ആദ്യത്തെ 20 പദങ്ങളുടെ തുകയെത്ര?

വിശദീകരണം

a) Mാം പദം തന്നാല്‍ nാം പദം = mാം പദം + (n - M)d (d= പൊതുവ്യത്യാസം)

6-ാം പദം തന്നാല്‍ 15-ാം പദം = 6-ാം പദം + (15 - 6) d
= 50+ 9 ഃ 9
= 131

b) ഇവിടെ 221 നെ nാം പദമായി കണക്കാക്കുക
ആയതിനാല്‍
nാം പദം = mാം പദം + (n - M) d
nാം പദം - mാം പദം = (n M) d
nാം പദം- mാം പദം = n -M
d
221- 50/ 9 + 6 = n ( mാം പദം = 6ാം പദം)
= 171 /9 + 6
= 171 +54/ 9
= 225/9
25
n = 25

ആയതിനാല്‍ 25 -ാം പദമാണ് 221

c) ഒരു സമാന്തരശ്രേണിയിലെ ഏതൊരു പദത്തേയും അതിന്റെ പൊതുവ്യത്യാസം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാല്‍ കിട്ടുന്ന ശിഷ്ടം തുല്യമായിരിക്കും.

തന്നിരിക്കുന്ന ശ്രേണിയിലെ 6-ാം പദമാണ് 50 , 50 ന്റെ പൊതുവ്യത്യാസമായ 9 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാല്‍ ശിഷ്യം 5 കിട്ടുന്നു. അതുകൊണ്ട് 275 ശ്രേണിയിലെ ഒരു പദമാണ്.
(30 * 9 + 5 =275 )

d) സമാന്തര ശ്രേണിയില്‍ തുടര്‍ച്ചയായ പദങ്ങളില്‍ ആദ്യത്തെയും അവസാനത്തെയും പദങ്ങളുടെ തുകയുടെ n/ 2 മടങ്ങായിരിക്കും ആദ്യം മുതല്‍ അവസാനം വരെയുള്ള പദങ്ങളുടെ തുക. ഇവിടെ ി എന്നത് പദങ്ങളുടെ തുകയാണ്.
തുടര്‍ച്ചയായ n പദങ്ങളുടെ തുക = n2 ( ആദ്യപദം+ അവസാന പദം )
കൂടാതെ
6-ാം പദം = ഒന്നാം പദം + 5 d
6ാം പദം + 5 d = ഒന്നാം പദം
50- 5 * 9 = ഒന്നാം പദം
ഒന്നാം പദം = 50- 45
= 5

20ാം പദം = ഒന്നാം പദം + 19 d
= 5 + 19 * 9
5 + 171
= 176
ആദ്യത്തെ 20 പദങ്ങളുടെ തുക = 20/2 ( ഒന്നാം പദം + 20-ാം പദം)
20 പദങ്ങളുടെ തുക = 20/2 ( 5+ 176 )
= 10 * 181
= 1810

3. ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയുടെ nാം പദം 9-4n ആയാല്‍
a) പൊതുവ്യത്യാസം എത്ര ?
b) ശ്രേണി എഴുതുക ?
c) ആദ്യത്തെ n പദങ്ങളുടെ തുകയെന്ത് ?
വിശദീകരണം
a) ഒരു സമാന്തരശ്രേണിയുടെ ആദ്യപദം a യും പൊതുവ്യത്യാസം d യും ആയാല്‍
nാം പദം = a + (n-1) d ആണല്ലോ
അതായത്
a + nd- d
= ( a-d ) + nd എന്നും എഴുതാം
nാം പദം = 9 - 4 n
= ( a-d ) + nd
9 = a-d
4ി = nd
അഥവാ
d = 4
a = 9+ d
a = 5
ശ്രേണിയുടെ പൊതുവ്യത്യാസം -4 , ആദ്യപദം 5

b) ഒന്നാം പദം = 5 , രണ്ടാം പദം = 1, മൂന്നാം പദം -3 , നാലാം പദം = -7
ശ്രേണി = 5 , 1 , -3 , -7, ........................

c) ആദ്യ പദം a യും പൊതുവ്യത്യാസം d യും ആയാല്‍ തുടര്‍ച്ചയായ n പദങ്ങളുടെ തുക = n/2 ( 2a + (n-1) d)

= d/2 n2 + (a- d/2) n

ഇവിടെ ആദ്യ n പദങ്ങളുടെ തുക = d/2 n2 + ( a-d/2) n
(--4)/2 n2 ( 5 - (-4)/2)n
-2n2 + (5+2 ) n = -2n2 +7n
= 7n - 2n2

4. a) 100 നും 300 നും ഇടയില്‍ 8 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോള്‍ ശിഷ്ടം 3 കിട്ടുന്ന ശ്രേണി എഴുതുക.
b) ഈ ശ്രേണിയില്‍ എത്ര സംഖ്യകള്‍ ഉണ്ട് ?
c) അവയുടെ തുക എത്ര ?

വിശദീകരണം

8 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാല്‍ ശിഷ്ടം 3 കിട്ടുന്ന ആദ്യപദം = 107 , അവസാന പദം =299 പൊതു വ്യത്യാസം 8
107 ഒന്നാം പദവും, 299 nാം പദവുമായി എഴുതിയാല്‍
nാം പദം = ഒന്നാം പദം + (n-1)d
299 = 107 + (n-1) 8
192 = 8n-8
192+ 8 = 8n
200 = 8n
n = 25
25 ാം പദം = 299
8 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോള്‍ ശിഷ്യം 3 കിട്ടുന്ന 25 പദങ്ങളുണ്ട്.

b) പദങ്ങളുടെ തുക = 25/2 ( ആദ്യപദം + അവസാന പദം )
= 25/2 ( 107 + 299 )
= 25/2 ഃ 406
25 ഃ 203
= 5075

5. ഒരു സമാന്തരശ്രേണിയുടെ ആദ്യത്തെ 15 പദങ്ങളുടെ തുക 525 ഉം , ആദ്യത്തെ 25 പദങ്ങളുടെ തുക 1375 ഉം ആയാല്‍
a) ശ്രേണിയുടെ 8-ാം പദം എത്ര?
b) ശ്രേണിയുടെ 13-ാംപദം എത്ര?
c) പൊതുവ്യത്യാസം എത്ര?
d) nാം പദം എത്ര?
e) ആദ്യത്തെ n പദങ്ങളുടെ തുക എത്ര ?

വിശദീകരണം

a) ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയുടെ പദങ്ങളുടെ എണ്ണം ഒറ്റസംഖ്യ ആവുകയും അത്രയും പദങ്ങളുടെ തുകയും തന്നാല്‍
മധ്യ പദം = തുക / പദങ്ങളുടെ എണ്ണം
8ാം പദം = 15 പദങ്ങളുടെ തുക / 15
525 / 15
= 35

b) 13 ാം പദം = 25 പദങ്ങളുടെ തുക / 25
1375 / 25 = 55

c) 8ാം പദം = 35
മ + 7d = 35
13ാം പദം = 55
a+ 12d = 55
a+ 7d = 35
a+ 12d = 55
ഇതില്‍നിന്നും
5d = 20, d =4
പൊതുവ്യത്യാസം = 4

റ) 8-ാം പദം = 35
a+ 7d = 35
a+ 7 x 4 = 35
a = 35- 28
a = 7
nാം പദം = (a-d) + 2n
(7-4 ) +4n = 3+4n

e) ആദ്യത്തെ n പദങ്ങളുടെ തുക
= d/2 n2 + (a-d/2) n
4/2n2 + (7-4/2) n
(2n2 + 7 -2) n = 2n2 + 5n