പൗരാണിക കാലം തൊട്ടേ മനുഷ്യര്‍ വൃത്തത്തെക്കുറിച്ച് പഠിച്ചിരുന്നു. ചക്രങ്ങളുടെ നിര്‍മാണവും അതുവഴി വാഹനങ്ങളും മനുഷ്യപുരോഗതിയുടെ നാഴികക്കല്ലുകളില്‍ രേഖപ്പെടുത്തി. കോംപസ് ഉപയോഗിച്ച് വൃത്തം വരയ്ക്കുന്ന രീതി കൂട്ടുകാര്‍ക്കെല്ലാം വശമാണല്ലോ. ഒരു നിശ്ചിത ബിന്ദുവില്‍നിന്ന് ഒരു നിശ്ചിത അകലത്തില്‍ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന ഒരു തലത്തിലെ എല്ലാബിന്ദുക്കളുടേയും ഗണത്തെയാണ് വൃത്തം (സര്‍ക്കിള്‍) എന്ന് വിവക്ഷിക്കുന്നത്

 

 

 

ഭൂമിയടക്കമുള്ള ഗ്രഹങ്ങള്‍ സൂര്യനെ വലയംവയ്ക്കുന്നത് വൃത്താകാരമായ പാതയിലൂടെയാണെന്നായിരുന്നു ആദ്യ കാലത്തെ ജ്യോതി ശാസ്ത്രജ്ഞര്‍ വിശ്വസിച്ചിരുന്നത്. പിന്നീട് ജര്‍മന്‍ ഗണിതശാസ്ത്ര അധ്യാപകനായിരുന്ന  ജോഹന്നാസ് കെപ്ലര്‍ ഇതു സംബന്ധിച്ച്  കൂടുതല്‍ പഠനം നടത്തിയപ്പോഴാണ് ദീര്‍ഘവൃത്താകൃതിയിലാണ് ഗ്രഹങ്ങള്‍ ഭ്രമണം നടത്തുന്നതെന്ന് തിരിച്ചറിഞ്ഞത്. ഇപ്പോള്‍ ചില കൂട്ടുകാര്‍ക്ക് സംശയം വന്നു കാണും. എന്താണ് ദീര്‍ഘ വൃത്തങ്ങളെന്ന്. വലിച്ച് നീട്ടിയ വൃത്തങ്ങളെന്ന് ദീര്‍ഘ വൃത്തങ്ങളെ പറയാറുണ്ട്. കൃത്യമായി പറഞ്ഞാല്‍ വൃത്തത്തിന് ഒരു കേന്ദ്രമാണ് ഉള്ളതെങ്കില്‍ ദീര്‍ഘ വൃത്തങ്ങള്‍ക്ക് രണ്ട് കേന്ദ്രങ്ങളുണ്ട്. ഫോക്കസുകള്‍ എന്ന് നമുക്കതിനെ വിളിക്കാം. ദീര്‍ഘവൃത്തത്തിലുള്ള ഏതൊരു ബിന്ദു പരിഗണിച്ചാലും രണ്ടു ഫോക്കസുകളില്‍നിന്നും ഈ ബിന്ദുവിലേക്കുള്ള ദൂരത്തിന്റെ തുക തുല്യമായിരിക്കും.

 

 

 

 

വൃത്തത്തിലെ ഒരു ചാപം മറു ചാപത്തിലുണ്ടാക്കുന്ന കോണുകളെല്ലാം തുല്യമാണ്. അതേ ചാപത്തിന്റെ മറുചാപത്തിലുണ്ടാക്കുന്ന ഏത് ജോഡി കോണുകളും അനുപൂരകവുമാണ്.

 

 

 

പല വസ്തുക്കളുടേയും ചുറ്റളവ് കാണുന്നതിനെക്കുറിച്ച് ക്ലാസില്‍ ചോദ്യങ്ങള്‍ വരാറുണ്ടല്ലോ. സമചതുരത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് കാണാന്‍ വളരെ എളുപ്പമാണ്. ഏതെങ്കിലും ഒരു വശത്തിന്റെ നീളം മാത്രം കണ്ടാല്‍ മതി. സമഭുജ ത്രികോണവും സമ പഞ്ചഭുജവും സമ ഷഡ്ഭുജവുമെല്ലാം ഇങ്ങനെ എളുപ്പത്തില്‍ അളന്നെടുക്കാം. വൃത്താകൃതിയിലുള്ള ഒരു വസ്തുവിന്റെ ചുറ്റളവ് കാണാനോ. ഒരു ചരടു കൊണ്ട് അളന്നെടുക്കാമെങ്കിലും പല സന്ദര്‍ഭങ്ങളിലും ഇത് പ്രായോഗികമല്ല. വൃത്തത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് കാണാനുള്ള പരീക്ഷണങ്ങള്‍ക്ക് നാലായിരം വര്‍ഷത്തോളം പഴക്കമുണ്ടെന്നാണ് ചരിത്രകാരന്മാര്‍ പറയുന്നത്. വൃത്തത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് വ്യാസത്തിന് ആനുപാതികമാണെന്ന് കണ്ടെത്തിയതോടെ ഗണിത ശാസ്ത്രത്തില്‍ പുതിയൊരു ചിഹ്നം തന്നെ ഉദയം ചെയ്തു. ഏത് വൃത്തത്തിന്റേയും ചുറ്റളവിനെ വ്യാസം കൊണ്ട് ഹരിക്കുകയാണെങ്കില്‍ ലഭിക്കുന്നത് ഒരേ സംഖ്യ തന്നെയായിരിക്കുമെന്ന് ഗണിത ശാസ്ത്രം വിധിയെഴുതി.

 

 

 

ഒരു വൃത്തത്തിലെ ഏതെങ്കിലും രണ്ട് ബിന്ദുക്കളെ യോജിപ്പിച്ച് വൃത്തകേന്ദ്രത്തിലൂടെ കടന്നു പോകുന്ന വിധത്തില്‍ വരയ്ക്കുന്ന രേഖയാണ് വ്യാസം (ഡയമീറ്റര്‍). വ്യാസം വഴി വിഭജിക്കപ്പെടുന്ന അര്‍ധഭാഗമാണ് അര്‍ധവൃത്തം (സെമിസര്‍ക്കിള്‍). വ്യാസത്തിന്റെ പകുതിയാണ് ആരം (റേഡിയസ്). വൃത്തത്തിന്റെ ഒരു  ഭാഗമാണ് ചാപം(ആര്‍ക്ക്). അര്‍ധവൃത്തത്തേക്കാള്‍ നീളം കുറവായ ചാപമാണ് ലഘുചാപം (മൈനര്‍ ആര്‍ക്). അര്‍ധവൃത്തത്തേക്കാള്‍ നീളം കൂടുതലുള്ള ചാപമാണ് ദീര്‍ഘചാപം(മേജര്‍ ആര്‍ക്). വൃത്തത്തിലെ ഏതെങ്കിലും രണ്ട് ബിന്ദുക്കളെ യോജിപ്പിച്ച് വരയ്ക്കുന്ന രേഖയാണ് ഞാണ്‍. 

 

 

 

ഗണിത ശാസ്ത്രത്തില്‍ ത്രികോണങ്ങളുടെ അളവുകളെക്കുറിച്ച് പ്രതിപാദനം നടത്തുന്ന ശാഖയാണ് ത്രികോണമിതി. ഗ്രീസില്‍ ജീവിച്ചിരുന്ന ഹിപ്പാര്‍ക്കസ് ആണ് ത്രികോണമിതിയുടെ പിതാവായി അറിയപ്പെടുന്നത്. ത്രികോണത്തിലെ കോണുകളുടെ അളവും വശങ്ങളുടെ നീളവും തമ്മിലുള്ള ബന്ധമാണ് ത്രികോണമിതിയില്‍ പ്രതിപാദിക്കുന്നത്. ഒരു ത്രികോണത്തിലെ കോണുകള്‍ അതിലെ വശങ്ങളുടെ അംശബന്ധം നിശ്ചയിക്കുന്നുണ്ട്. ഒരേ കോണുകളുള്ള ത്രികോണങ്ങള്‍ പല വലിപ്പത്തില്‍ വരച്ചാലും അവയുടെ വശങ്ങളുടെ നീളം മാറും. എന്നാല്‍ അവ തമ്മിലുള്ള അംശബന്ധം മാറില്ല. ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങളുടെ അംശബന്ധം അവയുടെ എതിര്‍ കോണുകളുടെ സൈന്‍ അളവുകളുടെ അംശബന്ധമാണ്.

 

 

രണ്ട് ത്രികോണങ്ങളിലൊന്നിന്റെ മൂന്നു വശങ്ങളും രണ്ടാമത്തെ ത്രികോണത്തിന്റെ മൂന്ന് വശങ്ങള്‍ക്കും തുല്യമാണെങ്കില്‍ നമുക്കതിനെ സര്‍വസമ ത്രികോണങ്ങളായി കണക്കാക്കാം. രണ്ട് ത്രികോണങ്ങളിലൊന്നിന്റെ രണ്ട് വശവും അവയുടെ ഉള്‍ക്കോണും രണ്ടാമത്തെ ത്രികോണത്തിന്റെ രണ്ട് വശത്തിനും അവയുടെ ഉള്‍ക്കോണിനും തുല്യമായാല്‍ അവയെ സര്‍വസമമായി കണക്കാക്കാം. രണ്ട് ത്രികോണങ്ങളിലൊന്നിന്റെ  ഒരു വശവും അതിലെ രണ്ട് കോണുകളും രണ്ടാമത്തെ ത്രികോണത്തിന്റെ ഒരു വശത്തിനും അതിലെ രണ്ട് കോണുകള്‍ക്കും തുല്യമായാല്‍ ത്രികോണങ്ങള്‍ സര്‍വസമമാണ്. രണ്ട് മട്ടത്രികോണങ്ങളിലൊന്നിന്റെ കര്‍ണവും ഒരു വശവും രണ്ടാമത്തെ മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ കര്‍ണത്തിനും ഒരു വശത്തിനും തുല്യമായാലും ത്രികോണങ്ങള്‍ സര്‍വസമമാണ്. എന്നാല്‍ രണ്ട് ത്രികോണങ്ങളിലൊന്നിന്റെ രണ്ട് വശവും ഒരു കോണും രണ്ടാമത്തെ ത്രികോണത്തിന്റെ രണ്ട് വശത്തിനും ഒരു കോണിനും തുല്യമായാല്‍ അവയെ സര്‍വസമമായി കണക്കാക്കാന്‍ സാധിക്കില്ല.